Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求出AB的長(zhǎng)度；
（2）用含有t的式子表示AP和BQ；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可；
（2）利用題意得出AP=t，BQ=2t即可；
（3）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t．②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解得t．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），
所以AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$；
（2）設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒，
可得：AP=t，BQ=2t；
（3）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．
所以$\frac{t}{6}=\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$（秒），
②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．
所以$\frac{t}{10}=\frac{10-2t}{6}$，
解得t=$\frac{50}{13}$（秒）；
故當(dāng)t為$\frac{50}{13}$秒或$\frac{30}{11}$秒時(shí)，△APQ與△AOB相似．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)△APQ∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t．