Question

已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，AB=CD，AE∥DC交BC于E，G為AE中點，DG延長線交BC于F．
（1）說明：△AGD≌△EGF
（2）若AD+BF=DC，
①說明：AE⊥BG
②求∠C的度數．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠GEF，∠ADG=∠GFE，
又G為AE的中點
∴AG=GE．
∴△AGD≌△EGF（AAS）．

（2）①證明：由（1）△AGD≌△EGF，得AD=EF．
∵AD+BF=DC，
∴EF+BF=CD=BE．
∵AB=CD，
∴AB=BE．
所以△ABE是以AE為底邊的等腰三角形．
又∵G為AE的中點，
∴AE⊥BG．

②解：∵CD∥AE，
∴∠C=∠AEB，
由①得AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠C=∠ABC．
∴∠C=∠BAE=∠AEB，
∴∠C=60°（三角形的內角和為180°）．
分析：（1）要證△AGD≌△EGF，由于AD∥BC，很容易就可得內錯角相等，又G為AE的中點，所以AG=GE，由AAS可證．
（2）①要證AE⊥BG，G為AE的中點，所以只要證AB=BE，由等腰三角形的性質：底邊上的三線合一，可得證．
②要求∠C的度數，因CD∥AE，所以∠C=∠AEB就是求∠AEB的度數（平行四邊形的同位角相等），由①得AB=BE，所以∠BAE=∠AEB，由四邊形ABCD為等腰梯形，所以∠C=∠ABC，所以∠C=∠AEB=∠ABC=∠AEB，所以△ABE為等邊三角形．所以∠C為60°
點評：本題考查的是三角形全等的判定、全等三角形的性質、等腰三角形的性質、等腰梯形的性質、平行線上同位角相等的性質及三角形內角和180°等知識點，綜合性強，難度較大．