Question

連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線，如圖1，AC、AD是五邊形ABCDE的對(duì)角線．思考下列問(wèn)題：
（1）如圖2，n邊形A₁A₂A₃A₄…A_n中，過(guò)頂點(diǎn)A₁可以畫(huà)

n-3

條對(duì)角線，它別是

A₁A_n-1（n＞3）

；過(guò)頂點(diǎn)A₂可以畫(huà)

（n-3）

條對(duì)角線，過(guò)頂點(diǎn)A₃可以畫(huà)

（n-3）

條對(duì)角線．
（2）過(guò)頂點(diǎn)A₁的對(duì)角線與過(guò)頂點(diǎn)A₂的對(duì)角線有相同的嗎？過(guò)頂點(diǎn)A₁的對(duì)角線與過(guò)頂點(diǎn)A₃的對(duì)角線有相同的嗎？
（3）在此基礎(chǔ)上，你能發(fā)現(xiàn)n邊形的對(duì)角線條數(shù)的規(guī)律嗎？
（4）在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出n邊形的內(nèi)角和．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A₁和任意不相鄰的兩點(diǎn)連接可得出到一條對(duì)角線；同理可得過(guò)點(diǎn)A₂、A₃的情況．
（2）過(guò)點(diǎn)A₁的和過(guò)點(diǎn)A₂的沒(méi)有重復(fù)的，但和過(guò)點(diǎn)A₃的有重復(fù)的（A₁A₃和A₃A₁重復(fù)）；
（3）過(guò)每一點(diǎn)有（n-3）條對(duì)角線，除去重復(fù)的即可得出總對(duì)角線的條數(shù)．
（4）過(guò)一點(diǎn)有（n-3）條對(duì)角線，分成（n-2）個(gè)三角形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°即可得出答案．

解答：解：（1）過(guò)頂點(diǎn)A₁可以畫(huà)（n-3）條對(duì)角線，它別是A₁A_n-1（n＞3）；過(guò)頂點(diǎn)A₂可以畫(huà)（n-3）條對(duì)角線，過(guò)頂點(diǎn)A₃可以畫(huà)（n-3）條對(duì)角線；
（2）過(guò)點(diǎn)A₁的和過(guò)點(diǎn)A₂的沒(méi)有重復(fù)的，但和過(guò)點(diǎn)A₃的有重復(fù)的（A₁A₃和A₃A₁重復(fù)）；
（3）n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對(duì)角線，故可連出（n-3）條，
共有n個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n（n-3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．
即n邊形的對(duì)角線條數(shù)的為：

n(n-3)

2

．
（4）過(guò)一點(diǎn)有（n-3）條對(duì)角線，分成（n-2）個(gè)三角形，
故n邊形的內(nèi)角和為180°•（n-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了多邊形的對(duì)角線及多邊形的內(nèi)角和的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意一些基本知識(shí)的掌握．