Question

【題目】已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E，過(guò)D點(diǎn)作⊙O的切線交BC的延長(zhǎng)線于F．

（1）求證：∠FDB = ∠AED.

（2）若⊙O 的半徑為5，tan∠FBD＝，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) .

【解析】（1） 連結(jié)OD，交弦AC于點(diǎn)G.證明DFAC，即可得到∠FDB=∠AED，

(2)連結(jié)AD 根據(jù)圓周角定理可得∠FBD=∠ABD=∠DAC, tan∠FBD=tan∠ABD=tan∠DAC= , 在中，AB=2×5=10, tan∠ABD=,設(shè)AD=3x,則BD=4x，根據(jù)勾股定理列出方程 解得x=2, 在中，AD=6, tan∠DAC=

同理可得：DG = ,證明CF=DG，即可求解.

（1） 連結(jié)OD，交弦AC于點(diǎn)G.

∵ DF切⊙O于點(diǎn)D，

∴ OD⊥DF，

∵ 點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，

∴ OD⊥AC，

∴ DFAC，

∴∠FDB=∠AED，

(2)連結(jié)AD

∵點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)

∴ 弧AD=弧CD∴ ∠FBD=∠ABD=∠DAC,

∴ tan∠FBD=tan∠ABD=tan∠DAC= ,

在中，AB=2×5=10, tan∠ABD=,

設(shè)AD=3x,則BD=4x∴

解得x=2,

∴ AD=6,

在中，AD=6, tan∠DAC=

同理可得：DG =

∵ AB是直徑∴ ∠ACF=∠ACB=90°

∵ ∠FDO=∠DGC=90°∴ 四邊形DGCF是矩形

∴ CF=DG=.