Question

如圖所示，直線AB為⊙O₁與⊙O₂的一條外公切線，O₁A=5cm，AB=9cm，O₂B=2cm，求：
（1）O₁O₂的長；
（2）BP的長；
（3）PO₂的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作O₂C⊥O₁A于點C，則則四邊形ABO₂O₁是矩形，求得O₁O₂的長，然后利用勾股定理即可求解；
（2）易證△PAO₁∽△PBO₂，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；
（3）在直角△BPO₂中利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）作O₂C⊥O₁A于點C．
又∵直線AB為⊙O₁與⊙O₂的一條外公切線，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
則四邊形ABO₂O₁是矩形，
∴O₂C=AB=9cm，AC=5-2=3cm，
則在直角△O₁O₂C中，O₁O₂=

O1C2+O2C2

=

92-32

=6

2

（cm）；
（2）∵O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴O₁A∥O₂B，
∴△PAO₁∽△PBO₂，
∴

BP

AP

=

O2B

O1A

，
即

BP

BP+9

=

2

5

，
解得：BP=6（cm）；
（3）在直角△BPO₂中，PO₂=

O2B2+BP2

=

22+62

=2

10

（cm）．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．