Question

已知，AB為圓O的直徑，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，連接OE，OF，求證：
（1）OE=OF；
（2）CE=DF．

Answer 1

考點：垂徑定理,矩形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）連接OC、OD、OG，作OH⊥BG于H，交CD于M，根據(jù)已知條件證得四邊形BGFE是矩形，得出BG=EF，BG∥EF，根據(jù)垂徑定理證得BH=GH，EF⊥OH，進而證得四邊形BHME和四邊形GHMF也是矩形，從而證得ME=BH=GH=MF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證得OE=OF．
（2）根據(jù)垂徑定理得出CM=DM，由（1）已經(jīng)證得ME=MF，根據(jù)等量減等量還是等量即可證得．

解答：（1）證明：連接OC、OD、OG，作OH⊥BG于H，交CD于M，
∵AB為圓O的直徑，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，
∴∠BGF=90°，
∴四邊形BGFE是矩形，
∴BG=EF，BG∥EF，
∵OH⊥BG，
∴BH=GH，EF⊥OH，
∴四邊形BHME和四邊形GHMF也是矩形，
∴ME=BH=GH=MF，
∴OE=OF．

（2）證明：∵OM⊥CD，
∴CM=DM，
∵ME=MF，
∴CM-ME=DM-MF，
即CE=DF．

點評：本題考查了垂徑定理和矩形的性質(zhì)以及線段的垂直平分線的性質(zhì)等，垂徑定理的應用是解題的關鍵．