Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=7，∠B=45°，P在BC邊上，E在CD邊上，∠B=∠APE．
（1）求等腰梯形的高；
（2）求證：△ABP∽△PCE．

Answer 1

解：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，
∴∠AFB=∠DGC=90°且 AF∥DG，
在△ABF和△DCG中 ，
∴△ABF≌△DCG，
∴BF=CG，
∵AD∥BC且 AF∥DG，
∴AFGD是平行四邊形，
∴AD=FG，
∵AD=3，BC=7，∴BF=2
在Rt△ABF中，∠B=45°，∴∠BAF=45°，
∴AF=BF=2，
∴等腰梯形的高為2；
（2）∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
又∵∠B=∠APE∴∠BAP=∠EPC，
在△ABP和△PCE中，
∴△ABP∽△PCE．
分析：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，首先證明△ABF≌△DCG，得到BF=CG，再證明AFGD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出等腰梯形的高即可；
（2）利用等腰梯形的性質(zhì)和相似三角形的判定方法證明：△ABP∽△PCE即可．
點評：本題題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定是初中階段考查的重點同學(xué)們應(yīng)重點掌握．