Question

1．閱讀理解：“速算”是指在特定的情況下用特定的方方進行計算，它有很強的技巧性．如：末位數(shù)字相同，手位數(shù)字和為十的兩位數(shù)想乘，它的方法是：兩首位相乘再加上末位得數(shù)作為前積，末位的平方作為后積（若后積是一位數(shù)則十位補0），前積后面天上后積就是得數(shù)．
如：84×24=100×（8×2+4）+4²=2016
42×62=100×（4×6+2）+2²=2604
（1）仿照上面的方法，寫出計算77×37的式子
77×37=100×（7×3+7）+7²=2849；
（2）如果分別用a，b表示兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字，用c表示個位數(shù)字，請用含a、b、c的式子表示上面的規(guī)律，并說明其正確性；
（3）猜想4918×5118怎樣用上面的方法計算？寫出過程．并仿照上面的方法推導出：計算前兩位數(shù)和為一百，后兩位相同的兩個四位數(shù)相乘的方法．

Answer 1

分析 （1）仿照以上方法求出原式的值即可；
（2）根據(jù)題示規(guī)律等式右邊為十位數(shù)的積與個位數(shù)和的100倍加上個位數(shù)的平方，列式表示即可，驗證可根據(jù)整式乘法展開結合十位數(shù)字和為10變形可得；
（3）類比（2）中方法4918×5118=10000×（49×51+18）+18²，驗算過程可將4918×5118寫成（49×100+18）（51×100+18）后展開、合并可得，
推廣到任意具有相同規(guī)律的四位數(shù)，分別用a，b表示兩個四位數(shù)的千位和百位組成的兩位數(shù)，用c表示兩個四位數(shù)上個位和十位組成的兩位數(shù)，且a+b=100，則（100a+c）（100b+c）=10000（ab+c）+c²，驗證可參照上述做法．

解答 解：（1）77×37=100×（7×3+7）+7²=2849；
（2）（10a+c）（10b+c）=100（ab+c）+c²，其中a+b=10，
證明：左邊=100ab+10ac+10bc+c²
=100ab+10c（a+b）+c²
=100ab+100c+c²
=100（ab+c）+c²=右邊，
故（10a+c）（10b+c）=100（ab+c）+c²，其中a+b=10，成立；
（3）4918×5118=（49×100+18）（51×100+18）
=49×51×10000+49×100×18+51×100×18+18²
=10000×49×51+100×18×（49+51）+18²
=10000×49×51+10000×18+18²
=10000×（49×51+18）+18²，
即4918×5118=10000×（49×51+18）+18²
分別用a，b表示兩個四位數(shù)的千位和百位組成的兩位數(shù)，用c表示兩個四位數(shù)上個位和十位組成的兩位數(shù)，且a+b=100，
則（100a+c）（100b+c）=10000ab+100ac+100bc+c²
=10000ab+100c（a+b）+c²
=10000ab+10000c+c²
=10000（ab+c）+c²
即（100a+c）（100b+c）=10000（ab+c）+c²．

點評 本題主要考查整式的混合運算和數(shù)字的計算規(guī)律，尋找計算規(guī)律是前提，并加以運用和推廣是關鍵，主要考查了數(shù)學的類比思想，整式的運算是解題的基礎．