Question

9．Rt△ABC中，AC=BC，∠DCE=45°，探究DE，BE，AD的關(guān)系．

Answer 1

分析 利用旋轉(zhuǎn)的定義把△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAF，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AF=BE，CF=CE，∠FCE=90°，∠FAC=∠B=45°，易得∠DCF=45°，∠FAD=90°，再證明△CDF≌△CDE得到DF=DE，則根據(jù)勾股定理得到AF²+AD²=FD²，然后利用等線段代換即可得到BE²+AD²=DE²．

解答 解：∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=90°
把△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAF，
∴AF=BE，CF=CE，∠FCE=90°，∠FAC=∠B=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAB=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=45°，
在△CDF和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{∠DCF=∠DCE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDE，
∴DF=DE，
在Rt△ADF中，AF²+AD²=FD²，
∴BE²+AD²=DE²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．解決此題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)把線段AD、DE、BE組成一個(gè)直角三角形．