(2010•雙鴨山)已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,點P在AC上,且∠MPN=90°.當點P為線段AC的中點,點M、N分別在線段AB、BC上時(如圖1),過點P作PE⊥AB于點E,PF⊥BC于點F,可證Rt△PME∽Rt△PNF,得出PN=PM.(不需證明)當PC=PA,點M、N分別在線段AB、BC或其延長線上,如圖2、圖3這兩種情況時,請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關系,并任選取一給予證明.

【答案】分析:圖2和圖3的結論一致,求解的方法也相同,以圖2為例:過P作PE⊥AB于E,作PF⊥BC于F,仿照題干的做法,先證△PEM∽△PFN,得PN:PM=PF:PE;在Rt△ABC中,PF=PC,PE=PA,聯(lián)立PC、PA的比例關系,即可得到PF:PE的值,從而求得PN、PM的比例關系.
解答:解:
如圖2,如圖3中都有結論:PN=PM.(2分)
選如圖2:在Rt△ABC中,過點P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于點F;
∴四邊形BFPE是矩形,∴∠EPF=90°,
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°,
可知∠EPM=∠FPN,∴△PFN∽△PEM,(2分)
=;(1分)
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中:∠A=30°,∠C=60°,
∴PF=PC,PE=PA,(1分)
==;(1分)
∵PC=PA,∴=,即:PN=PM.(1分)
若選如圖3,其證明過程同上(其他方法如果正確,可參照給分)
點評:此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì),由于題干部分已經(jīng)給出了解題的思路,使得此題的難度有所降低.
練習冊系列答案
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(2)試在直線AM上找一點P,使得S△ABP=S△AOB,請直接寫出點P的坐標.
(3)若點H為坐標平面內(nèi)任意一點,在坐標平面內(nèi)是否存在這樣的點H,使以A,B,M,H為頂點的四邊形是等腰梯形?若存在,請直接寫出點H的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2)試在直線AM上找一點P,使得S△ABP=S△AOB,請直接寫出點P的坐標.
(3)若點H為坐標平面內(nèi)任意一點,在坐標平面內(nèi)是否存在這樣的點H,使以A,B,M,H為頂點的四邊形是等腰梯形?若存在,請直接寫出點H的坐標;若不存在,請說明理由.

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