Question

如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AB邊上一點，若AE=2，求EM+BM的最小值．

Answer 1

分析：要求EM+BM的最小值，需考慮通過作輔助線轉化EM，BM的值，從而找出其最小值求解．

解答：解：連接CE，與AD交于點M．則CE就是BM+ME的最小值．
取BE中點F，連接DF．
∵等邊△ABC的邊長為6，AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4，
∴BF=FE=AE=2，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴DF是△BCE的中位線，
∴CE=2DF，CE∥DF，
又∵E為AF的中點，
∴M為AD的中點，
∴ME是△ADF的中位線，
∴DF=2ME，
∴CE=2DF=4ME，
∴CM=

3

4

CE．
在直角△CDM中，CD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD，
CM=

CD2+MD2

=

3 7

2

，
CE=

4

3

×

3 7

2

=2

7

，
∵BM+ME=CE，
∴BM+ME的最小值為2

7

．

點評：此題主要考查了軸對稱-最短路線問題和等邊三角形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，根據已知得出M點位置是解題關鍵．