Question

6．如圖，在長方形ABCD中，AB=4cm，BC=5cm，點P從點A開始以1cm/s的速度向點D運動，設點P運動的時間為t（s），陰影部分的面積為S（cm²）．
（1）求陰影部分的面積S關于t的函數(shù)表達式以及自變量t的取值范圍；
（2）當△BCP為等腰三角形時，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD不變，根據(jù)點P從點A開始以1cm/s的速度向點D運動，設點P運動的時間為t，得到AP=t，則PD=5-t，根據(jù)S=S_△BCP+S_△CDP=$\frac{1}{2}×4×5$+$\frac{1}{2}$（5-t）×4，即可得到結論；
（2）當△BCP為等腰三角形時：①PB=PC，P為AD的中點，求得t=$\frac{5}{2}$，得到S=15；②CB=CP，在Rt△CDP中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，求得t=AP=1，得到S=18；③BP=BC時，在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=4，求得t=4，得到S=12．

解答 解：（1）∵S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD不變的，
∵點P從點A開始以1cm/s的速度向點D運動，設點P運動的時間為t，
∴AP=t，則PD=5-t，
∴S=S_△BCP+S_△CDP=$\frac{1}{2}×4×5$+$\frac{1}{2}$（5-t）×4，
∴陰影部分的面積S關于t的函數(shù)表達式為：S=-2t+20（0≤t≤5）；

（2）當△BCP為等腰三角形時：
①PB=PC，P為AD的中點，t=$\frac{5}{2}$cm，
∴S=15cm²；
②CB=CP，在Rt△CDP中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3cm，
∴t=AP=AD-PD=5-3=2cm，
∴S=-4+20=16cm²；
③BP=BC時，在Rt△ABP中，
AP=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=3cm，
∴t=3cm，S=-6+20=14cm²．
綜上所述：當△BCP為等腰三角形時，陰影部分的面積為：15，16，14．

點評 本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，求圖形的面積，用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．