Question

如圖，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y=

1

4

x²上運動，且∠AOB=90°，給出下列結(jié)論：
①點（x₁，x₂）在反比例函數(shù)y=-

16

x

的圖象上；
②直線AB與y軸交于定點（0，4）；
③若以AB為直徑的圓與x軸相切，則y₁+y₂=8．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：①點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y=

1

4

x²上，則有y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，x₁²=4y₁，x₂²=4y₂ 所以x₁²x₂²=16y₁y₂，有△AOC∽△ODB可得

-x1

y2

=

y1

x2

，即-x₁x₂=y₁y₂，所以x₁²x₂²=-16x₁x₂，即x₂=

-16

x1

，所以點（x₁，x₂）在反比例函數(shù)y=-

16

x

的圖象上；
②點A（x₁，y₁）在拋物線y=

1

4

x²上，點（x₁，x₂）在反比例函數(shù)y=-

16

x

的圖象上，交點就是點A，y=

1

4

x²，y=-

16

x

可求得點A的坐標A（-4，4），代入y=

1

4

x²上可求得點B坐標為（4，4），所以直線AB與y軸交于定點（0，4）；
③若以AB為直徑的圓與x軸相切，圓心必定在y軸上，由于A（-4，4），B（4，4）．所以y₁+y₂=8．

解答：解：①作AC⊥X軸于C，BD⊥y軸于D
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y=

1

4

x²上，
∴y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，x₁²=4y₁，x₂²=4y₂ ，
∴x₁²x₂²=16y₁y₂，
∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠CAO+∠AOC=90°
∴∠BOD=∠CAO
∴△ACO∽△ODB
∴

-x1

y2

=

y1

x2

，即-x₁x₂=y₁y₂，
∴x₁²x₂²=-16x₁x₂，即x₂=

-16

x1

，
∴點（x₁，x₂）在反比例函數(shù)y=-

16

x

的圖象上；
②設(shè)直線與拋物線y軸左邊的交點為（x₁，y₁），右邊為（x₂，y₂），
∵∠AOB=90，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠CAO+∠AOC=90°
∴∠BOD=∠CAO
∴△ACO∽△ODB
∴

-x1

y2

=

y1

x2

，即-x₁x₂=y₁y₂，
∴x₁²x₂²=-16x₁x₂，
代入解得x₁x₂=0（舍去）或-16，
∵

y=kx+b y= 1 4 x2

根據(jù)韋達定理得x₁x₂=-4b
所以-4b=-16，
解得b=4，
所以直線AB的解析式為y=kx+4
即過定點（0，4）
③∵A（-4，4），B（4，4），
∴y₁=4，y₂=4
∴y₁+y₂=8．
故選：D．

點評：本題考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，以及三角形相似和圓的切線的性質(zhì)和判定，有一定的難度．