Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

（1）如圖1，線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_______________；

（2）如圖2，以為斜邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)、分別在軸、軸的負(fù)半軸上，且，以為邊在第三象限內(nèi)作正方形，請(qǐng)求出線段長(zhǎng)度的最大值，并直接寫(xiě)出此時(shí)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）5 （2）直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（3）線段MG取最大值10+．

此時(shí)直線MG的解析式

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半得線段的長(zhǎng)度為5.

以為斜邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí),過(guò)點(diǎn)C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．

所以∠CQB=∠CPA=90°，又有∠QOP=90°，∠QCP=90°．∠BCA=90°，∠BCQ=∠ACP．BC=AC，

可證得△BCQ≌△ACP．從而得CQ=CP．不妨設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a)(其中)．

設(shè)直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，，解得k=1，所以直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（3）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON、NG、OM.因?yàn)椤螦OB=90°，所以O(shè)M=．同理得ON=5．

在正方形DGFE，N為DE中點(diǎn)，DE=10，由勾股定理得NG=．在點(diǎn)M與G之間總有MO+ON+NG由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，M、O、N、G四點(diǎn)共線,此時(shí)等號(hào)成立.這時(shí)線段MG取最大值10+．

此時(shí)直線MG的解析式

試題解析：（1）5

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．

∴∠CQB=∠CPA=90°，

∵∠QOP=90°，

∴∠QCP=90°．

∵∠BCA=90°，

∴∠BCQ=∠ACP．

∵BC=AC，

∴△BCQ≌△ACP．

∴CQ=CP．

∵點(diǎn)在第一象限,

∴不妨設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a)(其中)．

設(shè)直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，

∴，解得k=1，

∴直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為．           4分

（3）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON、NG、OM.

∵∠AOB=90°，

∴OM=．

同理ON=5．

∵正方形DGFE，N為DE中點(diǎn)，DE=10，

∴NG=．

在點(diǎn)M與G之間總有MO+ON+NG(如圖2)，

由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，M、O、N、G四點(diǎn)共線,此時(shí)等號(hào)成立（如圖3）.

∴線段MG取最大值10+．

此時(shí)直線MG的解析式

考點(diǎn)：1.直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,2.在直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo),3.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.