Question

如圖，已知二次函數y=x²+bx+c的圖象經過兩點C（-2，5）與D（0，-3），且與x軸相交于A、B兩點，其頂點為M．
（1）求b和c的值；
（2）在二次函數圖象上是否存在點P，使S_△PAB=

5

4

S_△MAB？若存在，求出p點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過點D作直線l∥x軸，將二次函數圖象在y軸左側的部分沿直線l翻折，二次函數圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象直接寫出當m為何值時直線y=x+m與此圖象只有兩個公共點．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數法將點C、點D的坐標代入解析式就可以求出b和c的值，進一步得到拋物線的解析式；
（2）當y=0時，求出拋物線與x軸的交點坐標就可以求出AB的值，△ABM的高就是M的縱坐標的高的絕對值．利用三角形的面積公式就可以求出其面積．設出點P的坐標為（a，b），根據條件S_△PAB=

5

4

S_△MAB建立等量關系就可以求出P點的坐標．
（3）當直線y=x+m（m＜1）經過點D（0，-3）時，可以求出m的一個值；當直線y=x+m與拋物線只有一個交點時，可以求出m的另一個值．

解答：解：（1）∵點C（-2，5）與D（0，-3）在二次函數y=x²+bx+c的圖象上，
∴

5=4-2b+c -3=c

，
解得

b=-2 c=-3

．

（2）由（1）可得拋物線的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴M（1，-4），
當y=0時，則x^2_-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABM=

4×4

2

=8．
設點P的坐標為（a，a²-2a-3），當點P在x軸的上方時，
∴4（a²-2a-3）×

1

2

=

5

4

×8，
解得：a₁=4，a₂=-2，
∴P（4，5）或（-2，5），
當點P在x軸的下方時的點不存在．
∴P（4，5）或（-2，5）．

（3）當直線y=x+m（m＜1）經過點D（0，-3）時，
∴-3=0+m，
∴m=-3；
當直線y=x+m與拋物線只有一個交點時，x+m=x²-2x-3，即x²-3x-3-m=0，
則△=9+4（3+m）=0，
解得m=-

21

4

．
綜上所述，m的值是-3或-

21

4

．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了利用待定系數法求函數的解析式，拋物線頂點坐標的求法，三角形面積公式的運用，拋物線與直線的交點情況的關系．