Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)C（-2，5）與D（0，-3），且與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M．
（1）求b和c的值；
（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=

5

4

S_△MAB？若存在，求出p點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)l∥x軸，將二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的部分沿直線(xiàn)l翻折，二次函數(shù)圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象直接寫(xiě)出當(dāng)m為何值時(shí)直線(xiàn)y=x+m與此圖象只有兩個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)代入解析式就可以求出b和c的值，進(jìn)一步得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，求出拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就可以求出AB的值，△ABM的高就是M的縱坐標(biāo)的高的絕對(duì)值．利用三角形的面積公式就可以求出其面積．設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)條件S_△PAB=

5

4

S_△MAB建立等量關(guān)系就可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)直線(xiàn)y=x+m（m＜1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，-3）時(shí)，可以求出m的一個(gè)值；當(dāng)直線(xiàn)y=x+m與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可以求出m的另一個(gè)值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C（-2，5）與D（0，-3）在二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象上，
∴

5=4-2b+c -3=c

，
解得

b=-2 c=-3

．

（2）由（1）可得拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴M（1，-4），
當(dāng)y=0時(shí)，則x^2_-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABM=

4×4

2

=8．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a²-2a-3），當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，
∴4（a²-2a-3）×

1

2

=

5

4

×8，
解得：a₁=4，a₂=-2，
∴P（4，5）或（-2，5），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)的點(diǎn)不存在．
∴P（4，5）或（-2，5）．

（3）當(dāng)直線(xiàn)y=x+m（m＜1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，-3）時(shí)，
∴-3=0+m，
∴m=-3；
當(dāng)直線(xiàn)y=x+m與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x+m=x²-2x-3，即x²-3x-3-m=0，
則△=9+4（3+m）=0，
解得m=-

21

4

．
綜上所述，m的值是-3或-

21

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，三角形面積公式的運(yùn)用，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)情況的關(guān)系．