Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1（k≠0）與雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）相交于點(diǎn)P（1，m ）．
（1）求k的值；
（2）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q（2，1）；
（3）若過(guò)P、Q二點(diǎn)的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N（0，$\frac{5}{3}$），求該拋物線的函數(shù)解析式，并求出拋物線的對(duì)稱軸方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)進(jìn)而代入求出即可；
（2）連接PO，QO，PQ，作PA⊥y軸于A，QB⊥x軸于B，于是得到PA=1，OA=2，根據(jù)點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱，得到直線y=x垂直平分PQ，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OP=OQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，把P、Q、N（0，$\frac{5}{3}$）代入y=ax²+bx+c，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=kx+1與雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于點(diǎn)A（1，m），
∴m=2，
把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，
解得：k=1；

（2）連接PO，QO，PQ，作PA⊥y軸于A，QB⊥x軸于B，則PA=1，OA=2，
∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱，
∴直線y=x垂直平分PQ，
∴OP=OQ，
∴∠POA=∠QOB，
在△OPA與△OQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAO=∠OBQ}\\{∠POA=∠QOB}\\{OP=OQ}\end{array}\right.$，
∴△POA≌△QOB，
∴QB=PA=1，OB=OA=2，
∴Q（2，1）；
故答案為：2，1；

（3）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
∵過(guò)P、Q二點(diǎn)的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N（0，$\frac{5}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=a+b+c}\\{1=4a+2b+c}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=1}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+x+$\frac{5}{3}$，
∴對(duì)稱軸方程x=-$\frac{1}{-\frac{2}{3}×2}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題需把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，靈活利用方程組求出所需字母的值，從而求出函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．