Question

14．同圓中，內(nèi)接正六邊形與內(nèi)接正方形的面積比是3$\sqrt{3}$：4．

Answer 1

分析 將圓內(nèi)接正四邊形和圓內(nèi)接正六邊形的邊長用圓的半徑表示出來，再求出圓內(nèi)接正四邊形與正六邊形的面積表達(dá)式（用圓的半徑表示），然后即可得出其面積比．

解答 解：設(shè)圓的半徑為r．如圖：
在正方形ABCD中，作邊心距OF，
則OF=OBsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
則AD=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=$\sqrt{2}$r，
圓內(nèi)接正四邊形的面積為S_ABCD=（$\sqrt{2}$r）²=2r²；
在正六邊形ABCDEF中，
AB=BO=OA=r，
則S_ABCDEF=6×$\frac{1}{2}$OA•OBsin60°，
=6×$\frac{1}{2}$r•rsin60°，
=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$r²，
=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$r²，
S_ABCDEF：S_ABCD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$r²：2r²=3$\sqrt{3}$：4；
故答案為：3$\sqrt{3}$：4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查正多邊形的計(jì)算問題，屬于常規(guī)題．解答時(shí)要熟悉正方形和正六邊形的面積計(jì)算方法，尤其要懂得分割計(jì)算再求和．