Question

已知，△ABC中，sinA=

4

5

，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是射線AC、CB上的點(diǎn)，連接DE、EF、DF，∠EDF=90°，∠A=∠EFD．
（1）求證：∠ACB=90°；
（2）若點(diǎn)D關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接CN，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CN交直線CN于點(diǎn)H，試探究CE、CN、FH三者之間的關(guān)系．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB交AC于點(diǎn)H，利用sinA=

4

5

，找出邊角關(guān)系，證得△EHD∽△DFB，進(jìn)一步得出結(jié)論即可；
（2）分兩種情況探討：當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)；利用相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)探討得出答案即可．

解答：證明：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB交AC于點(diǎn)H，

∵sinA=

4

5

，
∴在Rt△AHD中，

DH

AD

=

4

3

．
∵∠A=∠EFD，
∴在Rt△EFD中，

DE

DF

=

4

3

，
∴

DH

AD

=

DE

DF

∵AD=BD，
∴

DH

BD

=

DE

DF

．
∵∠EDF=∠ADH=90°，
∴∠EDH=∠FDB．
∴△EHD∽△DFB，
∴∠H=∠B，
∵∠CMH=∠DMF，
∴∠ACB=∠HDB=90°．

（2）當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，
過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥BC于點(diǎn)Q，NP⊥AC于點(diǎn)P，
∴∠NPE=∠NQF=90°，
∵∠PNQ=∠ENF=90°
∴∠PNE=∠QNF，
∴△PNE∽△QNF

QN

PN

=

NF

NE

=

3

4

．
∵矩形PNQC，
∴PN=CQ
∴

QN

CQ

=

3

4

，tan∠NCQ=tan∠B
∴∠NCQ=∠B
∴CH∥AB．
過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CN于點(diǎn)M
∴∠MCE=∠A
∴

MC

CE

=

3

5

∴∠EMH=∠H=∠ENF=90°
∴△MNE∽△HFN

HF

MN

=

NF

NE

=

3

4

∴MN=

4

3

HF
∴

3

5

CE+CN=

4

3

HF．
第二情況當(dāng)點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)
同理可證CN-

3

5

CE=

4

3

HF．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，以及分類討論思想的滲透，關(guān)鍵結(jié)合題目作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．