【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,點E.F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF、則EF=BE+DF,試說明理由;
(2)類比引申
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點E.F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B,∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關系 時,仍有EF=BE+DF;
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,猜想BD、DE、EC滿足的等量關系,并寫出推理過程。
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合,證出△AFG≌△AFE,根據(jù)全等三角形的性質得出EF=FG,即可得出答案;
(2)把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合,證出△AFE≌△AFG,根據(jù)全等三角形的性質得出EF=FG,即可得出答案;
(3)把△ACE旋轉到ABF的位置,連接DF,證明△AFE≌△AFG(SAS),則EF=FG,∠C=∠ABF=45°,△BDF是直角三角形,根據(jù)勾股定理即可作出判斷.
試題解析:(1)理由是:如圖1,
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90至△ADG,可使AB與AD重合,如圖1,
∵∠ADC=∠B=90,
∴∠FDG=180,點F. D. G共線,
則∠DAG=∠BAE,AE=AG,
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=9045=45=∠EAF,
即∠EAF=∠FAG,
在△EAF和△GAF中,
AF=AF,∠EAF=∠GAF,AE=AG,
∴△AFG≌△AFE(SAS),
∴EF=FG=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180時,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90至△ADG,可使AB與AD重合,如圖2,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90,∠EAF=45,
∴∠BAE+∠DAF=45,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180,
∴∠FDG=180,點F. D. G共線,
在△AFE和△AFG中,
AE=AG,∠FAE=∠FAG,AF=AF,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF,
故答案為:∠B+∠ADC=180;
(3)BD2+CE2=DE2.
理由是:把△ACE旋轉到ABF的位置,連接DF,
則∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90,∠DAE=45,
∴∠BAD+∠CAE=45,
又∵∠FAB=∠CAE,
∴∠FAD=∠DAE=45,
則在△ADF和△ADE中,
AD=AD,∠FAD=∠DAE,AF=AE,
∴△ADF≌△ADE,
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45,
∴∠BDF=90,
∴△BDF是直角三角形,
∴BD2+BF2=DF2,
∴BD2+CE2=DE2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC,直線PQ垂直平分AC,與邊AB交于E,連接CE,過點C作CF平行于BA交PQ于點F,連接AF.
(1)求證:△AED≌△CFD;
(2)求證:四邊形AECF是菱形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一種公益叫“光盤”.所謂“光盤”,就是吃光你盤子中的食物,杜絕“舌尖上的浪費”.某校九年級開展“光盤行動”宣傳活動,根據(jù)各班級參加該活動的總人次折線統(tǒng)計圖,下列說法正確的是( )
A. 極差是40 B. 中位數(shù)是58 C. 平均數(shù)大于58 D. 眾數(shù)是5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,立方體的六個面上標著連續(xù)的整數(shù),若相對的兩個面上所標之數(shù)的和相等,則這六個數(shù)的和為_____________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象相交于A(﹣2,2)、B兩點,從點A和點B分別引平行于y軸的直線與x軸分別交于C,D兩點,點P(t,0),為線段CD上的動點,過點P且平行于y軸的直線與拋物線和直線分別交于R,S.
(1)求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,并求出點B的坐標;
(2)當SR=2RP時,計算線段SR的長;
(3)若線段BD上有一動點Q且其縱坐標為t+3,問是否存在t的值,使S△BRQ=15?若存在,求t的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的數(shù)學問題:“今有鳧(鳧:野鴨)起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今鳧雁俱起,問何日相逢?”意思是:野鴨從南海起飛,7天飛到北海;大雁從北海起飛,9天飛到南海.野鴨與大雁從南海和北海同時起飛,經(jīng)過幾天相遇.設野鴨與大雁從南海和北海同時起飛,經(jīng)過x天相遇,根據(jù)題意,下面所列方程正確的是( )
A.(9﹣7)x=1
B.(9+7)x=1
C.( + )x=1
D.( ﹣ )x=1
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.M、N分別是AB、CD邊的中點,P是AD上的點,且∠PNB=3∠CBN.
(1)求證:∠PNM=2∠CBN;
(2)求線段AP的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉,得到矩形AEFG,E點正好落在邊CD上,連接BE,BG,且BG交AE于P.
(1)求證:∠CBE=∠BAE;
(2)求證:PG=PB;
(3)若AB=,BC=3,求出BG的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學課上,老師提出如下問題:
作圖:過直線外一點作已知直線的平行線.
已知:直線l及其外一點A.
求作:l的平行線,使它經(jīng)過點A.
小天利用直尺和三角板進行如下操作:如圖所示:
①用三角板的斜邊與已知直線l重合;
②用直尺緊靠三角板一條直角邊;
③沿著直尺平移三角板,使三角板的斜邊通過已知點A;
④沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.
老師說:“小天的作法正確.”
請回答:小天的作圖依據(jù)是___________.
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