Question

8．如圖，在△ABC中，以BC為直徑作半圓O，交AB于點D，交AC于點E，AD=AE．
（1）求證：BD=CE；
（2）若S_△ABC=4S_△ADE，且DE=4，求⊙O半徑的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角，可證明∠ADE=∠AED=∠B=∠C，所以AB=AC，由此即可解決問題．
（2）利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可解決．

解答 （1）證明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，∵AD=AE，
∴BD=EC，
（2）解：由（1）可知∠ADE=∠AED=∠B，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{ED}{BC}）^{2}$，
∴$\frac{1}{4}$=（$\frac{4}{BC}$）²，
∴BC=8，
∴⊙O的半徑為4．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．