Question

14．如圖，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，點(diǎn)D為AB上的點(diǎn)，且BD=$\frac{2}{3}$AB，如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為6cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動幾秒后，可得到等邊三角形CQP？

Answer 1

分析 （1）求出BD=CP，∠B=∠C，BP=CQ，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)等邊得出CQ=CP，得出關(guān)于x的方程，求出x即可．

解答 解：（1）△BPD與△CQP全等，
理由是：∵在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，點(diǎn)D為AB上的點(diǎn)，且BD=$\frac{2}{3}$AB，
∴∠B=∠C，BD=8cm，
∵BP=CQ=4cm，
∴CP=12cm-4cm=8cm，
∴BD=CP，
在△BPD和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動x秒后，可得到等邊三角形CQP，
則CP=CQ，
即6x=12-4x，
解得：x=$\frac{6}{5}$．
即若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為6cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動$\frac{6}{5}$秒后，可得到等邊三角形CQP．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．