Question

2．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB邊上的高DE長為4cm，AE=3cm，動點P從點E出發(fā)，沿折線E-B-C向終點C運動，運動速度為1cm/s．動點Q從點B出發(fā)，沿折線B-C-D向終點D運動，運動速度為2cm/s，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中的一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)點P的運動時間為t（s）
（1）求線段BE的長度；
（2）當(dāng)點P與點B重合時，求點Q到AB的距離；
（3）設(shè)△APQ的面積為Scm²．當(dāng)點P在BC邊上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫出△DEQ為等腰三角形時t的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理計算出即可，
（2）作出輔助線，利用三角函數(shù)求解；
（3）由動點的特點表示出CQ=2t-5，BP=t-2，PC=7-t，再由面積公式計算即可；
（4）分情況討論：點Q在BC上，在CD上，在BC上，第三種情況建立直角坐標(biāo)系比較好．

解答 （1）解：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{{AE}^{2}{+DE}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=5，
∴BE=AB-AE=5-3=2，

（2）解：如圖1，當(dāng)點P與點B重合時，

∵EB=2cm=t，
∴t=2s，BQ=2t=4cm，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴∠QBF=∠A，
過點Q作QF⊥AB交AB延長線于點F，
∴$\frac{QF}{BQ}$=$\frac{DE}{AD}$=SinA=$\frac{4}{5}$，
∴QF=$\frac{4}{5}$BQ=$\frac{4}{5}$×4=$\frac{16}{5}$，

（3）解：當(dāng)2≤t≤2.5時，如圖2，PQ=BQ-BP=2t-（t-2），

∴S=$\frac{1}{2}$[2t-（t-2）]×4=2t+4，
當(dāng)2.5＜t≤5時，如圖3，CQ=2t-5，BP=t-2，PC=5-（t-2）=7-t，

S=$\frac{1}{2}$（2t-5+5）×4-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{4}{5}$（t-2）-$\frac{1}{2}$（2t-5）×$\frac{4}{5}$（7-t）=$\frac{4}{5}$t²-$\frac{28}{5}$t+18．

（4）解：點Q在線段BC上時，
∵△DEQ為等腰三角形，
①當(dāng)DQ=DE時，連接DB，
由題意得，∠DBE=∠DBQ，DB=DB，
∴△DBE≌△DBQ，
∴BQ=BE=2，
∴t=2÷2=1，

如圖4，②當(dāng)DQ=EQ時，作DH⊥DE，
∴DH=EH，
∴點H為DE中點，
∵QH∥AB，
∴BQ=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$÷2=$\frac{5}{4}$，

③當(dāng)DE=QE時，以AB所在直線為x軸，以DE所在直線為x軸，點E為原點建立直角坐標(biāo)系，如圖5，
∴點D（0，4），E（0，0），B（2，0），C（5，4），
∴直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，（m＞2）
設(shè)Q（m，$\frac{4}{3}$m-$\frac{8}{3}$），
∴QB²=（m-2）²+（$\frac{4}{3}$m-$\frac{8}{3}$）²=$\frac{25}{9}$（m-2）²=（2t）²，
∴m=$\frac{6}{5}$t+2或m=-$\frac{6}{5}$t+2（舍），
∴Q（$\frac{6}{5}$t+2，$\frac{8}{5}$t），
∵DE=DQ=4，
∴QE²=（$\frac{6}{5}$t+2）²+（$\frac{8}{5}$t）²，
∴t=$\frac{-3-2\sqrt{21}}{5}$（舍）或t=$\frac{-3+2\sqrt{21}}{5}$．
點Q在CD上時，DQ=DE=4，
∵CD=5，
∴CQ=1，
∴t=（5+1）÷2=3
即：t=1或t=$\frac{5}{4}$或t=$\frac{-3+2\sqrt{21}}{5}$或t=3．

點評 此題是四邊形的綜合題，主要考查菱形的性質(zhì)，三角形面積的計算以及等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是用t表示線段和點的坐標(biāo)，本題的難點是建立直角坐標(biāo)系．