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2.如圖,四邊形ABCD是菱形,AB邊上的高DE長為4cm,AE=3cm,動點P從點E出發(fā),沿折線E-B-C向終點C運動,運動速度為1cm/s.動點Q從點B出發(fā),沿折線B-C-D向終點D運動,運動速度為2cm/s,點P、Q同時出發(fā),當其中的一個點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)點P的運動時間為t(s)
(1)求線段BE的長度;
(2)當點P與點B重合時,求點Q到AB的距離;
(3)設(shè)△APQ的面積為Scm2.當點P在BC邊上時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)直接寫出△DEQ為等腰三角形時t的值.

分析 (1)由勾股定理計算出即可,
(2)作出輔助線,利用三角函數(shù)求解;
(3)由動點的特點表示出CQ=2t-5,BP=t-2,PC=7-t,再由面積公式計算即可;
(4)分情況討論:點Q在BC上,在CD上,在BC上,第三種情況建立直角坐標系比較好.

解答 (1)解:∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°,
在Rt△AED中,AD=AE2+DE2=32+42=5,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD=5,
∴BE=AB-AE=5-3=2,

(2)解:如圖1,當點P與點B重合時,

∵EB=2cm=t,
∴t=2s,BQ=2t=4cm,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴BC∥AD,
∴∠QBF=∠A,
過點Q作QF⊥AB交AB延長線于點F,
QFBQ=DEAD=SinA=45,
∴QF=45BQ=45×4=165,

(3)解:當2≤t≤2.5時,如圖2,PQ=BQ-BP=2t-(t-2),

∴S=12[2t-(t-2)]×4=2t+4,
當2.5<t≤5時,如圖3,CQ=2t-5,BP=t-2,PC=5-(t-2)=7-t,

S=12(2t-5+5)×4-12×5×45(t-2)-12(2t-5)×45(7-t)=45t2-285t+18.

(4)解:點Q在線段BC上時,
∵△DEQ為等腰三角形,
①當DQ=DE時,連接DB,
由題意得,∠DBE=∠DBQ,DB=DB,
∴△DBE≌△DBQ,
∴BQ=BE=2,
∴t=2÷2=1,

如圖4,②當DQ=EQ時,作DH⊥DE,
∴DH=EH,
∴點H為DE中點,
∵QH∥AB,
∴BQ=12BC=52
∴t=52÷2=54,

③當DE=QE時,以AB所在直線為x軸,以DE所在直線為x軸,點E為原點建立直角坐標系,如圖5,
∴點D(0,4),E(0,0),B(2,0),C(5,4),
∴直線BC的解析式為y=43x-83,(m>2)
設(shè)Q(m,43m-83),
∴QB2=(m-2)2+(43m-832=259(m-2)2=(2t)2
∴m=65t+2或m=-65t+2(舍),
∴Q(65t+2,85t),
∵DE=DQ=4,
∴QE2=(65t+2)2+(85t)2,
∴t=32215(舍)或t=3+2215
點Q在CD上時,DQ=DE=4,
∵CD=5,
∴CQ=1,
∴t=(5+1)÷2=3
即:t=1或t=54或t=3+2215或t=3.

點評 此題是四邊形的綜合題,主要考查菱形的性質(zhì),三角形面積的計算以及等腰三角形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是用t表示線段和點的坐標,本題的難點是建立直角坐標系.

練習冊系列答案
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12.如圖,在正六邊形ABCDEF中,對角線AE與BF相交于點M,BD與CE相交于點N.
(1)觀察圖形,寫出圖中與△ABM全等三角形;
(2)選擇(1)中的一對全等三角形加以證明.

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13.體育課上,老師測量跳遠成績的依據(jù)是( �。�
A.兩點確定一條直線B.垂線段最短
C.兩點之間,線段最短D.平行線間的距離相等

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10.計算
(1)3023+32141          (2)a•a2•a3+(-2a32-a8÷a2
(3)152+150+152            (4)1232006×0.62007

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17.閱讀材料:
關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式:
Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=\frac{tanα±tanβ}{1μtanα•tanβ}
利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值,
例:tan15°=tan(45°-30°) 
=\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°•tan30°}=\frac{{1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1+1×\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}
=\frac{{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}}{{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}}
=\frac{{12-6\sqrt{3}}}{6}=2-\sqrt{3}
根據(jù)以上閱讀材料,請選擇適當?shù)墓浇獯鹣旅娴膯栴}
(1)計算sin15°;
(2)我縣體育場有一移動公司的信號塔,小明想利用所學的數(shù)學知識來測量該塔的高度,小華站在離塔底A距離7米的C處,測得塔頂?shù)难鼋菫?5°,小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米,請幫助小華求出該信號塔的高度.(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):\sqrt{3}≈1.732,\sqrt{2}≈1.414)

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7.如果方程\frac{5x-4}{2x-4}=\frac{2x+k}{3x-6}有增根,則k=5.

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14.-27的立方根為( �。�
A.±3B.3C.-3D.沒有立方根

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11.觀察下列等式:
①9×0+1=1;②9×1+2=11;③9×2+3=21;④9×3+4=31;…
(1)請按以上規(guī)律寫出第5個等式:9×5+6=51;
(2)請用含字母n的式子表示第n個等式:9(n-1)+n=10(n-1)+1;
(3)試說明以上規(guī)律的正確性.

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17.觀察下列各式,并用所得出的規(guī)律解決問題:
(1)\sqrt{2}=1.414,\sqrt{200}=14.14,\sqrt{20000}=141.4…
\sqrt{0.03}=0.1732,\sqrt{3}=1.732,\sqrt{300}=17.32…
由此可見,被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動兩位,其算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動一位;
(2)已知\sqrt{5}=2.236,\sqrt{50}=7.071,則\sqrt{0.5}=0.7071,\sqrt{500}=22.36;
(3)\root{3}{1}=1,\root{3}{1000}=10,\root{3}{1000000}=100…
小數(shù)點變化的規(guī)律是:被開方數(shù)的小數(shù)點向右(左)移三位,其立方根的小數(shù)點向右(左)移動一位.
(4)已知\root{3}{10}=2.154,\root{3}{100}=4.642,則\root{3}{10000}=21.54,-\root{3}{0.1}=-0.4642.

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