Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的正半軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（2，0），三角形△ABO的面積為2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在射線OB上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿x軸的正半軸與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度運(yùn)動(dòng)，過P作PM⊥X軸交直線AB于M．
（1）求直線AB的解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)△MPQ的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量的取值范圍）．
（3）過點(diǎn)Q作QN⊥X軸交直線AB于N，在運(yùn)動(dòng)過程中（P不與B重合），是否存在某一時(shí)刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出時(shí)間t值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)三角形的面積求出OA，再寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出PM，再求出PQ的長(zhǎng)，然后利用直角三角形的面積公式列式整理即可得解；
（3）表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM²，再求出MN，然后分MN=QN，MN=QM，QN=QM三種情況列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（2，0），
∴OB=2，
∴S_△ABO=

1

2

OB•OA=

1

2

×2•OA=2，
解得OA=2，
∴點(diǎn)A（0，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

b=2 2k+b=0

，
解得

k=-1 b=2

，
∴直線AB的解析式為y=-x+2；

（2）∵OA=OB=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)P、Q的速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴PM=PB=OB-OP=2-t，
PQ=OB=2，
∴△MPQ的面積為S=

1

2

PQ•PM=

1

2

×2×（2-t）=2-t，
∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，
∴0＜t＜2，
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=2-t（0＜t＜2）；

（3）t秒時(shí)，PM=PB=|2-t|，QN=BQ=t，
所以，QM²=PM²+PQ²=（2-t）²+4，
MN=

2

（QN-PM）=

2

（t-t-2）=2

2

，
①若MN=QN，則t=2

2

，
②若MN=QM，則（2-t）²+4=（2

2

）²，
整理得，t²-4t=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=4，
③若QN=QM，則（2-t）²+4=t²，
整理得，4t-8=0，
解得t=2，
此時(shí)點(diǎn)P在與點(diǎn)B重合，不合題意舍去，
綜上所述，t=2

2

或4時(shí)，△MNQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了三角形的面積，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）分情況討論，用t表示出△MNQ的三邊是解題的關(guān)鍵．