Question

17．在一塊?ABCD的空地上，劃一塊?MNPQ進行綠化，如圖?MNPQ的頂點在?ABCD的邊上，已知∠A=60°，∠AMN=90°，且AM=PC=xm，已知?ABCD的邊BC=20m，AB=am，a為大于20m的常數(shù)，設(shè)四邊形MNPQ的面積為Sm²．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）若a=40m，求S的最大值并求出此時x的值；
（3）若a=200m，請直接寫出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先證明△AMN≌△CPQ，同理△DMQ≌△BPN，再利用S=S_{平行四邊形ABCD}-2S_△AMN-2S_△BNP即可解決問題．
（2）利用配方法求二次函數(shù)最大值．
（3）利用配方法求二次函數(shù)最大值，注意自變量的取值范圍．

解答 解：（1）作DF⊥AB于F，PE⊥AB于E．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=20，AB=DC=a，AD∥BC，CD∥AB，
∵AM=PC=x，∴DM=PB=20-x，
∵四邊形MNPQ是平行四邊形，
∴MN=PQ．MQ=PN，MN∥PQ，MQ∥PN，
∵MN⊥AD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BC，
∴∠AMN=∠QPC=90°，
在△AMN和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=PC}\\{∠AMN=∠QPC}\\{NM=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△CPQ，同理△DMQ≌△BPN，
在RT△ADF中，∵∠DFA=90°，AD=20，∠A=60°，
∴DF=10$\sqrt{3}$，
在RT△PBE中，∵∠PEB=90°，PB=20-x，∠PBE=∠A=60°，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（20-x），
∴S=S_{平行四邊形ABCD}-2S_△AMN-2S_△BNP=a$•10\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x²-（a-2x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（20-x）．=-2$\sqrt{3}$x²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+20$\sqrt{3}$）x．（0＜x≤20）
（2）a=40時，S=-2$\sqrt{3}$x²+40$\sqrt{3}$x=-2$\sqrt{3}$（x-10）²+200$\sqrt{3}$，
∴S最大值=200$\sqrt{3}$m²．
（3）a=200時，S=-2$\sqrt{3}$x²+120$\sqrt{3}$x=-2$\sqrt{3}$（x-30）²+1800$\sqrt{3}$，
∵0＜x≤20，
∴x=20時，S的值最大=1600$\sqrt{3}$
∴S最大值=1600$\sqrt{3}$m²．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．