Question

如圖，圓B切y軸于原點(diǎn)O，過定點(diǎn)作圓B切線交圓于點(diǎn)P．已知

，拋物線經(jīng)過A，P兩點(diǎn)．

（1）求圓B的半徑；

（2）若拋物線C經(jīng)過點(diǎn)B，求其解析式；

（3）投拋物線C交y軸于點(diǎn)M，若三角形APM為直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）連接BP，∵AP是圓B切線，∴AP⊥BP，

  

在直角三角形APB中，∵tan∠PAB=，

∴∠PAB=30°，∴sin∠PAB=

設(shè)圓B的半徑為r，則sin∠PAB=

解得r=

(2)由（1）知AP=

過點(diǎn)P作PD⊥軸，交于點(diǎn)D，則AD==3，OD=，DP=3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，3）

又∵拋物線C經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、P（，3）三點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線C解析式為

則，解得

∴拋物線C解析式為

（3）過點(diǎn)P作PE⊥y軸，交于點(diǎn)E，連結(jié)PM、AM

設(shè)M（0,m）,則PM²=3+(m-3)²

又AM²=12+m²，則AP²=36

若∠AMP=90°，則AP²=AM²+PM²

∴36=3+(m－3)²+12+m²

即m²－3m－6=0,解得m=

 若∠APM=90°，則AM²=AP²+PM²

∴12+m²=36+3+(m-3)²,解得m=6

若∠PAM=90°，則PM²=AP²+AM²

∴3+(m－3)²=36+12+m²,解得m=－6

∴所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，），（0，±6）