Question

14．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E、F、G分別是AB、BC、和BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若AE=BF=CG=2，連接EG、AF交于點(diǎn)H，則AH的長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，連接DE、DG，延長(zhǎng)DA、GE交于點(diǎn)M，先證明四邊形AFGD是平行四邊形，由AM∥BG得$\frac{AM}{BG}$=$\frac{AE}{EB}$，求出AM，再由AH∥DG得$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AM}{MD}$即可解決問題．

解答 解：如圖，連接DE、DG，延長(zhǎng)DA、GE交于點(diǎn)M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB=∠DCG=90°，AD∥BC，
∵AE=BF=CG，
∴BC=FG=AD，
∴AD∥FG，AD=FG，
∴四邊形AFGD是平行四邊形，
∴AF∥DG，
∴$\frac{AH}{DG}$=$\frac{MA}{MD}$，
∵DG=$\sqrt{D{C}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵AM∥BG，
∴$\frac{AM}{BG}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AM}{8}$=$\frac{2}{4}$，
∴AM=4，MD=10，
∴$\frac{AH}{2\sqrt{10}}$=$\frac{4}{10}$，
∴AH=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故答案為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．