（2009•懷柔區(qū)一模）如圖，△ABC中，AC=BC，以BC上一點O為圓心、OB為半徑作⊙O交AB于點D．已知經(jīng)過點D的⊙O切線恰好經(jīng)過點C．
（1）試判斷CD與AC的位置關系，并證明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求圓心O到直線AB的距離．

【答案】分析：（1）連接OD．易證△ABC∽△DBO，從而推出OD∥AC，得出CD⊥OD；
（2）由（1）得△ACB∽△CDB，得出∠A=∠B=∠DCB，再根據(jù)三角函數(shù)OB的值．做OE⊥DB，利用OE=OB求解．
解答：（1）解：CD與AC互相垂直．（1分）
證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵⊙O與直線CD相切，
∴CD⊥OD，
∴CD⊥AC；

解：（2）∵△ACB∽△CDB且AC=BC，
∴CD=DB，
∴∠A=∠B=∠DCB，
又∵∠A+∠B+∠DCB+∠ACD=180°，∠ACD=90°，
∴∠A=∠B=∠DCB=30°，
在Rt△ACD和Rt△CDO中，OD=CD•tan∠DCB，CD=AC•tan∠A，
∴OB=OD=AC•tan∠A•tan∠DCB=，
過點O作OE⊥AB于E，則OE=OB=，即圓心O到直線AB的距離為．
點評：本題考查的是圓的切線性質(zhì)以及相似三角形的判定定理，難度屬中等．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：2009年江蘇省中考數(shù)學模擬卷（1）（解析版） 題型：解答題

（2009•懷柔區(qū)一模）把直線y=-2x+2沿x軸翻折恰好與拋物線y=ax2+bx+2交于點C（1，0）和點A（8，m）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與y軸相交于點B，設點P是x軸上的任意一點（點P與點C不重合），若S△ABC=S△ACP，求滿足條件的P點的坐標；
（3）設點P是x軸上的任意一點，試判斷：PA+PB與AC+BC的大小關系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：2009年北京市懷柔區(qū)中考數(shù)學一模試卷（解析版） 題型：解答題

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（1）求該拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與y軸相交于點B，設點P是x軸上的任意一點（點P與點C不重合），若S△ABC=S△ACP，求滿足條件的P點的坐標；
（3）設點P是x軸上的任意一點，試判斷：PA+PB與AC+BC的大小關系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：2009年北京市懷柔區(qū)中考數(shù)學一模試卷（解析版） 題型：解答題

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（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD之間的位置關系為______，數(shù)量關系為______；
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）①如果AB=AC，∠BAC≠90°，點D在射線BC上運動．在圖4中同樣作出正方形ADEF，你發(fā)現(xiàn)（1）問中的結論是否成立？不用說明理由；
②如果∠BAC=90°，AB≠AC，點D在射線BC上運動．在圖5中同樣作出正方形ADEF，你發(fā)現(xiàn)（1）問中的結論是否成立？不用說明理由；

（3）要使（1）問中CF⊥BC的結論成立，試探究：△ABC應滿足的一個條件，（點C、F重合除外）畫出相應圖形（畫圖不寫作法），并說明理由；
（4）在（3）問的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，設AC=，BC=，求線段CP長的最大值．

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科目：初中數(shù)學 來源：2009年北京市懷柔區(qū)中考數(shù)學一模試卷（解析版） 題型：解答題

（2009•懷柔區(qū)一模）如圖，△ABC中，AC=BC，以BC上一點O為圓心、OB為半徑作⊙O交AB于點D．已知經(jīng)過點D的⊙O切線恰好經(jīng)過點C．
（1）試判斷CD與AC的位置關系，并證明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求圓心O到直線AB的距離．

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