Question

如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，O又是正方形A₁B₁C₁O的一個頂點，O A₁交AB于點E，OC₁交BC于點F．
（1）求證：△AOE≌△BOF；
（2）如果兩個正方形的邊長都為a，那么正方形A₁B₁C₁O繞O點轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積等于多少？為什么？

Answer 1

分析：（1）由題意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°又因為∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根據(jù)ASA可證明全等．
（2）由（1）得△AOE≌△BOF?S_{四邊形OEBF}=S_△EOB+S_△OBF=S_△EOB+S_△AOE=S_△AOB=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，
∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF．
在△AOE和△BOF中

∠OAE=∠OBF OA=OB ∠AOE=∠BOF

，
∴△AOE≌△BOF．

（2）答：兩個正方形重疊部分面積等于

1

4

a²，
因為△AOE≌△BOF，
所以：S_{四邊形OEBF}=S_△EOB+S_△OBF=S_△EOB+S_△AOE=S_△AOB=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2．

點評：本題在于考查三角形全等的證明，根據(jù)全等則面積相等，從而求得重疊部分的面積．