Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，點E在DC的延長線上，AE交BC邊于點F，且AE=AB．
 
（1）如圖l，求證：∠B＝∠E：
（2）如圖2，在（1）的條件下，在BC上取一點M，使BM=CE，連接AM，過M作MH⊥AE于H，連接CH，若∠BAE＝∠EHC＝60°，CF＝2，求線段AH的長.

Answer 1

（1）過點A作AG//CD交BC于點G，AP⊥BC于點P，AQ⊥CD于點Q，連接AC，則有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四邊形AGCD是平行四邊形，再結合AD=CD可得AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，則可得AP=AQ，再有AB=AE，可證得Rt△APB≌Rt△AQE，從而可以證得結論；（2）

試題分析：（1）過點A作AG//CD交BC于點G，AP⊥BC于點P，AQ⊥CD于點Q，連接AC，則有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四邊形AGCD是平行四邊形，再結合AD=CD可得AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，則可得AP=AQ，再有AB=AE，可證得Rt△APB≌Rt△AQE，從而可以證得結論；
（2）在HE上截取HK=CH，連接MK、AC，由∠KHC=60°可得△KHC是等邊三角形，∠AHC=120°，即可得到CH=CK，∠HKC=60°，由AB=AE，∠B=∠E，BM=CE可證得△ABM≌△AEC，即得∠BAM=∠EAC，AM=AC，即可得到△AMC是等邊三角形，則可得AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°，從而可以證得△MCK≌△ACH，即得MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°，則可得到∠MKF=120°-60°=60°，由MH⊥AH可得∠HMK=30°，設CH=CK=HK=，在Rt△MHK中，則有MK=AH=，再在Rt△MHK中，根據勾股定理可得MH=，利用面積法易求MF=4，即可得到AM=MC=4+2=6，在Rt△AHM中根據勾股定理求解即可.
解：（1）過點A作AG//CD交BC于點G，AP⊥BC于點P，AQ⊥CD于點Q，連接AC

則有∠APG=∠AQE=90°
∵AD//BC
∴四邊形AGCD是平行四邊形
∵AD=CD
∴AGCD是菱形
∴∠ACP=∠ACD  
∴AP=AQ
∵AB=AE
∴Rt△APB≌Rt△AQE
∴∠B=∠E；
（2）在HE上截取HK=CH，連接MK、AC

∵∠KHC=60°
∴△KHC是等邊三角形，∠AHC=120°
∴CH=CK，∠HKC=60°
∵AB=AE，∠B=∠E，BM=CE
∴△ABM≌△AEC
∴∠BAM=∠EAC，AM=AC
∵∠BAE=60°
∴∠MAC=60°
∴△AMC是等邊三角形
∴AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°
∴∠MCK=∠ACH
∴△MCK≌△ACH
∴MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°
∴∠MKF=120°-60°=60°
∵MH⊥AH
∴∠HMK=30°
∴設CH=CK=HK= 
在Rt△MHK中，則有MK=AH=
在Rt△MHK中，
∴MH=
利用面積法易求：MF=4
∴AM=MC=4+2=6
在Rt△AHM中，
∴
解得：，（舍去）
∴AH=2=.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.