Question

8．如圖①所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．

（1）按要求填空：
①你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n；
②請用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積：
方法1：（m-n）²
方法2：（m+n）²-4mn
③觀察圖②，請寫出代數(shù)式（m+n）²，（m-n）²，mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系：（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（2）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求（m-n）²的值．
（3）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖③，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

Answer 1

分析 （1）①觀察可得陰影部分的正方形邊長是m-n；
②方法1：陰影部分的面積就等于邊長為m-n的小正方形的面積；方法2：邊長為m+n的大正方形的面積減去4個長為m，寬為n的長方形面積；
③根據(jù)以上相同圖形的面積相等可得；
（2）根據(jù)|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中結(jié)論（m-n）²=（m+n）²-4mn計算可得；
（3）根據(jù)：大長方形面積等于長乘以寬或兩個邊長分別為m、n的正方形加上3個長為m、寬為n的小長方形面積和列式可得．

解答 解：（1）①陰影部分的正方形邊長是m-n．
②方法1：陰影部分的面積就等于邊長為m-n的小正方形的面積，即（m-n）²，
方法2：邊長為m+n的大正方形的面積減去4個長為m，寬為n的長方形面積，即（m+n）²-4mn；
③（m-n）²=（m+n）²-4mn．
（2））∵|m+n-6|+|mn-4|=0，
∴m+n-6=0，mn-4=0，
∴m+n=6，mn=4
∵由（1）可得（m-n）²=（m+n）²-4mn
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn=6²-4×4=20，
∴（m-n）²=20；
（3）根據(jù)大長方形面積等于長乘以寬有：（2m+n）（m+n），
或兩個邊長分別為m、n的正方形加上3個長為m、寬為n的小長方形面積和有：2m²+3mn+n²，
故可得：（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．
故答案為：（1）m-n；（2）①（m-n）²，②（m+n）²-4mn，③（m-n）²=（m+n）²-4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

點評 本題考查了完全平方公式的幾何意義，認(rèn)真觀察圖形以及掌握正方形、長方形的面積公式計算是關(guān)鍵．