Question

如圖，已知⊙O半徑為9cm，射線PM經(jīng)過點O，OP=15cm，射線PN與⊙O相交于點Q，動點A自P點以

5

2

cm/s的速度沿射線PM方向運動，同時動點B也自P點以2cm/s的速度沿射線PN方向運動，則它們從點P出發(fā)

 

s后AB所在直線與⊙O相切．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：動點型

分析：過點O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POQ，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值．

解答：解：過點O作OC⊥AB，垂足為C，
∵點A的運動速度為

5

2

cm/s，點B的運動速度為2cm/s，運動時間為ts，
∴PA=

5

2

t，PB=2t，
∵PO=15，QO=9，
PQ=12，
∴

PA

PO

=

PB

PQ

，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四邊形OCBQ為矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半徑為9，
∴BQ=OC=9時，直線AB與⊙O相切．
①當AB運動到如圖1所示的位置，
BQ=PQ-PB=12-2t，
∵BQ=9，
∴12-2t=9，
∴t=1.5（s）．
②當AB運動到如圖2所示的位置，
BQ=PB-PQ=2t-12，
∵BQ=9，
∴2t-12=9，
∴t=10.5（s）．
∴當t為1.5s或10.5s時直線AB與⊙O相切．
故答案為：1.5s或10.5s．

點評：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線垂直于過切點的半徑．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．