Question

2．定義：直線y=ax+b（a≠0）稱作拋物線y=ax²+bx（a≠0）的關(guān)聯(lián)直線．根據(jù)定義回答以下問(wèn)題：
（1）已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）的關(guān)聯(lián)直線為y=x+2，則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）；
（2）求證：拋物線y=ax²+bx與其關(guān)聯(lián)直線一定有公共點(diǎn)；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出拋物線y=ax²+bx與其關(guān)聯(lián)直線所共有的特征（寫(xiě)出一條即可）．

Answer 1

分析 （1）得出拋物線的解析式，化成頂點(diǎn)式即可求得；
（2）聯(lián)立方程得出ax²+bx=ax+b，整理成ax²+（b-a）x-b=0，根據(jù)△=（b-a）²+4ab=（a+b）²≥0，得出結(jié)論；
（3）根據(jù)拋物線y=x²+bx和直線y=x+b的特征即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）的關(guān)聯(lián)直線為y=x+2，
∴拋物線為y=x²+2x，
∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）．
故答案為（-1，-1）；
（2）證明：∵拋物線y=ax²+bx與y=ax+b相交，
∴ax²+bx=ax+b，
整理得，ax²+（b-a）x-b=0，
∵△=（b-a）²+4ab=（a+b）²≥0，
∴拋物線y=ax²+bx與其關(guān)聯(lián)直線一定有公共點(diǎn)．
（3）①拋物線y=x²+bx與其關(guān)聯(lián)直線恒過(guò)點(diǎn)（1，1+b）；
②拋物線y=x²+bx與其關(guān)聯(lián)直線恒過(guò)點(diǎn)（-b，0）；
③拋物線y=x²+bx與其關(guān)聯(lián)直線恒有一個(gè)交點(diǎn)在x軸上；
④當(dāng)x≥-b/2時(shí)，拋物線y=x²+bx與其關(guān)聯(lián)直線均是從左到右呈上升趨勢(shì)；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．