Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關系；

（2）將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉45º，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．  

（3）將圖1中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）CG=EG

（2）（1）中結論沒有發(fā)生變化，即EG=CG．

證明：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．

在△DAG與△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG與△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

  在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 與Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG

∴ EG=CG．

（3）（1）中的結論仍然成立．

【解析】本題主要是利用正方形的性質和三角形全等來證明線段相等。難點在于正確的做出輔助線。