Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，-1）的拋物線(xiàn)交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式
（2）過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)BD相切，請(qǐng)判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線(xiàn)的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，易求得對(duì)稱(chēng)軸l的解析式及B、C的坐標(biāo)，分別求出直線(xiàn)AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長(zhǎng)，與到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離相比較即可；
（3）過(guò)P作y軸的平行線(xiàn)，交AC于Q；易求得直線(xiàn)AC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長(zhǎng)；然后根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法，可得出關(guān)于△PAC的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)為y=a（x-4）²-1，
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，a=

1

4

；
∴拋物線(xiàn)為y=

1

4

(x-4)2-1=

1

4

x2-2x+3；（3分）

（2）相交．
證明：連接CE，則CE⊥BD，
當(dāng)

1

4

(x-4)2-1=0時(shí)，x₁=2，x₂=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
對(duì)稱(chēng)軸x=4，
∴OB=2，AB=

22+32

=

13

，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，即

13

4

=

2

CE

，解得CE=

8 13

13

，
∵

8 13

13

＞2，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C相交．（7分）

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線(xiàn)交AC于點(diǎn)Q；
可求出AC的解析式為y=-

1

2

x+3；（8分）
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，

1

4

m2-2m+3），
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-

1

2

m+3）；
∴PQ=-

1

2

m+3-（

1

4

m²-2m+3）=-

1

4

m²+

3

2

m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=

1

2

×（-

1

4

m²+

3

2

m）×6
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

；
∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為

27

4

；
此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-

3

4

）．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)．