Question

11．如圖，拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，-4），與y軸交于點C（0，-3），與x軸交于A、B兩點．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線上存在點P（不與點D重合），使得S_△PAB=S_△ABD，請求出P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，-4），可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-1）²-4，再將C（0，-3）代入求解即可；
（2）由S_△PAB=S_△ABD，根據(jù)三角形面積公式可得點P到線段AB的距離一定等于頂點D到AB的距離，而D的坐標(biāo)為（1，-4），所以點P的縱坐標(biāo)一定為4．將y=4代入（1）中所求解析式，得到x²-2x-3=4，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，-4），
∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-1）²-4，
又∵拋物線過點C（0，-3），
∴-3=a（0-1）²-4，
解得a=1，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）∵S_△PAB=S_△ABD，且點P在拋物線上，
∴點P到線段AB的距離一定等于頂點D到AB的距離，
∴點P的縱坐標(biāo)一定為4．
令y=4，則x²-2x-3=4，
解得x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$．
∴點P的坐標(biāo)為（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積．