Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，連接AC并延長至點D，使CD＝AC，點E是OB上一點，且，CE的延長線交DB的延長線于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．

（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）當OB＝2時，求BH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BH＝．

【解析】

（1）先判斷出∠AOC=90°，再判斷出OC∥BD，即可得出結論；

（2）先利用相似三角形求出BF，進而利用勾股定理求出AF，最后利用面積即可得出結論．

（1）連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，點C是的中點，

∴∠AOC＝90°，

∵OA＝OB，CD＝AC，

∴OC是△ABD是中位線，

∴OC∥BD，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∴AB⊥BD，

∵點B在⊙O上，

∴BD是⊙O的切線；

（2）由（1）知，OC∥BD，

∴△OCE∽△BFE，

∴，

∵OB＝2，

∴OC＝OB＝2，AB＝4，，

∴，

∴BF＝3，

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根據勾股定理得，AF＝5，

∵S△ABF＝ABBF＝AFBH，

∴ABBF＝AFBH，

∴4×3＝5BH，

∴BH＝．