【題目】將△ABC的邊AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α得到AB,邊AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′,αβ=180°.連接BC,作△ABC的中線AD

(初步感知)

(1)如圖,當(dāng)∠BAC=90°,BC=4時,AD的長為______;

(探索證明)

(2)如圖②,△ABC為任意三角形時,猜想ADBC的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(應(yīng)用延伸)

(3)如圖,已知等腰△ACB,AC=BC=m,延長ACD,延長CBE,使CD=CE=n,將△CEDC順時針旋轉(zhuǎn)一周得到△CED,連接BE′、AD,若∠CBE′=90°,求AD的長度(用含m、n的代數(shù)式表示)

【答案】(1)2;(2)(2)AD=BC,理由見解析;(3)AD′=.

【解析】1)首先證明BAC≌△B′AC′,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題;

(2)結(jié)論:AD=BC.如圖,延長ADE,使得DE=AD,連接B′E,C′E,首先證明四邊形AC′EB′是平行四邊形,再證明BAC≌△AB′E,即可解決問題;

(3)分情況進(jìn)行討論即可得.

1)∵∠BAC=90°,BAC+B′AC′=180°,

∴∠B′AC′=BAC=90°,

AB=AB′,AC=AC′,

∴△BAC≌△B′AC′,

BC=B′C′,

B′D=DC′,

AD=B′C′=BC==2,

故答案為:2;

(2)AD=BC,理由如下

如圖,延長AD至點(diǎn)E,使得DE=AD,

B′D=C′D,∴四邊形AC′EB′為平行四邊形,

B′EAC′,B′E=AC′=AC,∴∠AB′E+B′AC′=180°,

α+β=180°,∴∠BAC+B′AC′=180°,∴∠AB′E=BAC,

AB′=AB,AB′E≌△BAC,AE=BC,

AD=AE=BC;

(3)情況一:如圖,過點(diǎn)CBCE′的中線CF,

RtBCE′中,由勾股定理

得:;

BF=BE′=,

RtBCF中,由勾股定理得:CF===

由(2)可知:AD′=;

情況二:如圖,作CBE′的中線CF并延長到G,使FG=CF,連接BG、E′G,

BF=E′F,CF=GF,∴四邊形BCE′G為平行四邊形,

BC=GE′,BCGE′,BC=AC,AC=GE′,

由旋轉(zhuǎn)可知∠1=BCE′,∵∠1+ACD′=180°,GE′C+BCE′=180°,∴∠ACD′=GE′C,

CD′=E′C,ACD′≌△GE′C,AD′=GC

由情況一可知:BE′=,AD′=

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】按下面的程序計算,當(dāng)輸入x=100時,輸出結(jié)果為501;當(dāng)輸入x=20時,輸出結(jié)果為506;如果開始輸入的值x為正數(shù),最后輸出的結(jié)果為656,那么滿足條件的x的值最多有( 。

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

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【題目】實(shí)踐操作:在矩形ABCD中,AB4AD3,現(xiàn)將紙片折疊,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P,折痕為EF(點(diǎn)E、F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)),再將紙片還原.

初步思考:

1)若點(diǎn)P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖①)

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時,∠DEF   °;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時,∠DEF   °;

②當(dāng)點(diǎn)EAB上,點(diǎn)FDC上時(如圖②),

求證:四邊形DEPF為菱形,并直接寫出當(dāng)AP3.5時的菱形EPFD的邊長.

深入探究

2)若點(diǎn)P落在矩形ABCD的內(nèi)部(如圖③),且點(diǎn)E、F分別在ADDC邊上,請直接寫出AP的最小值   

拓展延伸

3)若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合,點(diǎn)EAD上,線段BA與線段FP交于點(diǎn)M(如圖④).在各種不同的折疊位置中,是否存在某一情況,使得線段AM與線段DE的長度相等?若存在,請直接寫出線段AE的長度;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB邊上一點(diǎn),以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E,連結(jié)DE并延長,與BC的延長線交于點(diǎn)F.
(1)求證:BD=BF;
(2)若BC=6,AD=4,求sinA的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,從一艘船的點(diǎn)A處觀測海岸上高為41m的燈塔BC(觀測點(diǎn)A與燈塔底部C在一個水平面上),測得燈塔頂部B的仰角為35°,則觀測點(diǎn)A到燈塔BC的距離為 . (精確到1m)
【參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7】

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=2,CD⊥ABD,點(diǎn)P是線段CD上的一個動點(diǎn),以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角△PBE,

連接DE ,則DE的最小值為__________

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【題目】為響應(yīng)學(xué)雷鋒、樹新風(fēng)、做文明中學(xué)生號召,某校開展了志愿者服務(wù)活動,活動項目有戒毒宣傳”、“文明交通崗”、“關(guān)愛老人”、“義務(wù)植樹”、“社區(qū)服務(wù)等五項,活動期間,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生對志愿者服務(wù)情況進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果發(fā)現(xiàn),被調(diào)查的每名學(xué)生都參與了活動,最少的參與了1項,最多的參與了5項,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.

(1)被隨機(jī)抽取的學(xué)生共有多少名?

(2)在扇形統(tǒng)計圖中,求活動數(shù)為3項的學(xué)生所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù),并補(bǔ)全折線統(tǒng)計圖;

(3)該校共有學(xué)生2000人,估計其中參與了4項或5項活動的學(xué)生共有多少人?

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A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

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