Question

倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請同學們認真閱讀、研究，完成“類比猜想”及后面的問題．

習題解答：

習題 如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．

解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′，點F、D、E′在一條直線上．

∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，

又∵AE′=AE，AF=AF

∴△AE′F≌△AEF（SAS）

∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．

習題研究

觀察分析：觀察圖（1），由解答可知，該題有用的條件是①ABCD是四邊形，點E、F分別在邊BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=∠BAD．

類比猜想：（1）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B=∠D時，還有EF=BE+DF嗎？

研究一個問題，常從特例入手，請同學們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當∠BAD=120°，∠EAF=60°時，還有EF=BE+DF嗎？

（2）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD時，EF=BE+DF嗎？

歸納概括：反思前面的解答，思考每個條件的作用，可以得到一個結(jié)論“EF=BE+DF”的一般命題：　在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD時，則EF=BE+DF　．

 

 

Answer 1

（1）當∠BAD=120°，∠EAF=60°時，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由見解析；

（2）當AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD時，EF=BE+DF成立．理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和∠EAF=60°得到AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°，則把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，則∠2+∠3=60°，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，則點F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；

（2）如圖（3），由于AB=AD，則把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，由于∠B+∠D=180，則∠ADE′+∠D =180°，所以點F、D、E′共線，利用∠EAF=∠BAD，得到∠1+∠2=∠BAD，則∠2+∠3=∠BAD，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，所以EF=DE′+DF= BE+DF；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納為：在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當滿足AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD時，則有EF=BE+DF．

試題解析：（1）當∠BAD=120°，∠EAF=60°時，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：

∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，

∴AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，

∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，

∴∠2+∠3=60°，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△AEF和△AE′F中

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF=E′F，

∵∠ADE′+∠ADC=120°，即點F、D、E′不共線，

∴DE′+DF＞EF

∴BE+DF＞EF；

（2）當AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD時，EF=BE+DF成立．

理由如下：如圖（3），

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），

∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，

∵∠B+∠D=180，

∴∠ADE′+∠D=180°，

∴點F、D、E′共線，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠1+∠2=∠BAD，

∴∠2+∠3=∠BAD，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△AEF和△AE′F中

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF=E′F，

∴EF=DE′+DF=BE+DF；

歸納：在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD時，則EF=BE+DF．

考點：四邊形綜合題．