Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，邊AB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)2α得到DB，交AC邊點E，連接AD，當

AD

BE

=

3

時，∠α=

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：作BF⊥AD于F，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BD，∠ABD=2α，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BF⊥AD，BF平分∠ABD，AF=DF，再利用“AAS”證明△ABC≌△ABF，得到AF=BC，由于

AD

BE

=

3

，則AF=

3

2

BE=BC，在Rt△BCE中，根據(jù)正弦的定義可計算出∠CEB=60°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠CEB=α+2α=60°，易得α=20°．

解答：解：作BF⊥AD于F，如圖，
∵邊AB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)2α得到DB，
∴BA=BD，∠ABD=2α，
∴BF⊥AD，BF平分∠ABD，AF=DF，
∴∠ABF=α，
在△ABC和△ABF中，

∠ACB=∠AFB ∠BAC=∠ABF AB=BA

，
∴△ABC≌△ABF（AAS），
∴AF=BC，
∵

AD

BE

=

3

，
∴AF=

3

2

BE，
∴BC=

3

2

BE，
在Rt△BCE中，∵sin∠CEB=

BC

BE

=

3

2

，
∴∠CEB=60°，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=α+2α，
即α+2α=60°，
∴α=20°．
故答案為20°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)．