Question

如圖，在△ABC中，AP=QP=QB=BC，AB=AC．求∠A的度數(shù)．

Answer 1

考點：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：首先在AC上取點D，使QD=PQ，連接QD、BD，然后設(shè)∠A=x，再利用等邊對等角與三角形外角的性質(zhì)，表示出各角，即可得∠BDC=∠C=（90-0.5x）°，又由等角對等邊，可得BD=BC，即可得△BDQ為等邊三角形，進(jìn)而得出x的角度，即可得出答案．

解答：解：在AC上取點D，使QD=PQ，連接QD、BD，
設(shè)∠A=x°，
∵AP=QP，
∴∠AQP=∠A=x°，
∴∠QPD=∠A+∠AQP=2x°，
∵QD=QP，
∴∠QDP=∠QPD=2x°，
∴∠BQD=∠A+∠QDP=3x°，
∵DQ=QB，
∴∠QBD=

180°-∠BQD

2

=90°-1.5x°，
∴∠BDC=∠A+∠QBD=90°-0.5x°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=90°-0.5x°，
∴BD=BC，
∴BD=BQ=QD，
∴△BDQ為等邊三角形，
∴∠QBD=90°-1.5x°=60°，
解得：x=20，
∴∠A=20°．

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，得到△BDQ為等邊三角形；注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．