Question

如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數y=x+3的圖象與y，x軸的交點，點B在二次函數的圖象上，且該二次函數圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形。

（1）試求b，c的值，并寫出該二次函數表達式；

（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：

①當P運動到何處時，有PQ⊥AC？

②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最�。看藭r四邊形PDCQ的面積是多少？

Answer 1

（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以點A（0，3）；令y=0，得x=4，所以點C（4，0），\

，∵△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，∴B點坐標為（﹣4，0），

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴D點坐標為（8，3），將點B（﹣4，0）、點D（8，3）代入二次函數y=x²+bx+c，可得，解得：，

故該二次函數解析式為：y=x²﹣x﹣3．

（2）①設點P運動了t秒時，PQ⊥AC，此時AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，，∴=，即=，解得：t=．即當點P運動到距離A點個單位長度處，有PQ⊥AC．

②∵S_{四邊形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=×8×3=12，

∴當△APQ的面積最大時，四邊形PDCQ的面積最小，…

當動點P運動t秒時，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

設△APQ底邊AP上的高為h，作QH⊥AD于點H，由△AQH∽CAO可得：=，

解得：h=（5﹣t），，∴S_△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t²+5t）=﹣（t﹣）²+，

∴當t=時，S_△APQ達到最大值，此時S_{四邊形PDCQ}=12﹣=

故當點P運動到距離點A個單位處時，四邊形PDCQ面積最小，最小值為．