Question

2．已知△ABC中，延長AB到E，使BE=AC，延長BC到F，使CF=AB，延長CA到D，使AD=BC，若得到的△DEF是等邊三角形，求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析 延長EA到D′，使AD′=AD，延長DC到F，使CF′=CF，延長FB到E′，使BE′=BE，設(shè)BC=x，AC=y，AB=z，則BE=BE′=y，BF=x+z=BD′，∠EBF=∠E′BD′，證得△BEF≌△BE′D′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到D′E′=EF，同理E′F′=DF，D′F′=DE，于是得到△DEF≌△D′E′F′，推出△D′E′F′是等邊三角形，得到∠D′E′F′=∠DEF=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D′E′B=∠FEB，推出∠CE′F′=∠DEA，于是得到∠BAC=∠CEA+∠ADE=∠CDF+∠ADE=∠EDF=60°，同理∠ABC=∠BCA=60°，于是得到結(jié)論．

解答 證明：延長EA到D′，使AD′=AD，延長DC到F，使CF′=CF，延長FB到E′，使BE′=BE，
設(shè)BC=x，AC=y，AB=z，則BE=BE′=y，BF=x+z=BD′，∠EBF=∠E′BD′，
在△BEF與△BE′D′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE′}\\{∠EBF=∠E′BD′}\\{BF=BD′}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BE′D′，
∴D′E′=EF，
同理E′F′=DF，D′F′=DE，
在△DEF與△D′E′F′中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=D′F′}\\{DF=E′F′}\\{EF=D′E′}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△D′E′F′，
∴△D′E′F′是等邊三角形，
∴∠D′E′F′=∠DEF=60°，
∵△BEF≌△BE′D′，
∴∠D′E′B=∠FEB，
∴∠D′E′F′-∠D′E′B=∠DEF-∠FEB，
即∠CE′F′=∠DEA，
∵△CE′F′≌△CDF，
∴∠CE′F′=∠CDF，∠DEA=∠CDF，
∴∠BAC=∠CEA+∠ADE=∠CDF+∠ADE=∠EDF=60°，
同理∠ABC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．