Question

在中，，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，

將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ。

    （1） 若且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，

并寫出∠CDB的度數(shù)；

    （2） 在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大

�。ㄓ煤�的代數(shù)式表示），并加以證明；

    （3） 對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得

線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫出的范圍。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）補(bǔ)全圖形如下：

∠CDB=30°。

（2）作線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，連接PC，AD，

 

 

∵AB=BC，M是AC的中點(diǎn)，∴BM⊥AC。

∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。

在△APD與△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC

∴△APD≌△CPD（SSS）。

∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。

又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。

∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。

∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。

∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。

∴∠CDB=90°－α。

（3）45°＜α＜60°。

【解析】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，。

（1）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出△CMQ是等邊三角形，即可得出答案：

∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM⊥AC，AM=AC。

∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。

∴CM=MQ，∠CMQ=60°�！唷鰿MQ是等邊三角形。

∴∠ACQ=60°�！唷螩DB=30°。

（2）首先由已知得出△APD≌△CPD，從而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。

（3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD，

∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。

∵點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。

∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。