Question

 將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A₁CB₁＝∠ACB＝90°，∠A₁＝∠A＝30°。

1.(1)將圖1中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點與AB的交點，點Q是與BC的交點，求證：=；

2.(2)在圖2中,若AP₁=,則CQ等于多少?

3.(3)將圖2中△繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△（如圖3），點與AP₁的交點．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時,有△A P₁C∽△CP₁P₂? 這時線段之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系?.

         

 

Answer 1

 

1.⑴證明：∵∠B₁CB＝45°，∠B₁CA₁＝90°，∴∠B₁CQ＝∠BCP₁＝45°；

又B₁C＝BC，∠B₁＝∠B，∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）∴CQ＝CP₁

2.⑵解：作P₁D⊥AC于D，∵∠A＝30°∴P₁D＝AP₁；

∵∠P₁CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP₁＝P₁D＝AP₁；

又AP₁＝，CQ＝CP₁ ，∴CQ＝

3.⑶解：當(dāng)∠P₁CP₂＝∠P₁AC＝30°時，由于∠CP₁P₂＝∠AP₁C，

則△AP₁C∽△CP₁P₂，     這時，

∴P₁P₂＝CP₁ ．        

解析:略