Question

17．如圖1，點(diǎn)O是彈力墻MN上一點(diǎn)，魔法棒從OM的位置開(kāi)始繞點(diǎn)O向ON的位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON位置時(shí)，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到OM位置時(shí)，再?gòu)腛M的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置，…，如此反復(fù)．按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第1步，從OA₀（OA₀在OM上）開(kāi)始旋轉(zhuǎn)α至OA₁；第2步，從OA₁開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA₂；第3步，從OA₂開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3α至OA₃，…．

例如：當(dāng)α=30°時(shí)，OA₁，OA₂，OA₃，OA₄的位置如圖2所示，其中OA₃恰好落在ON上，∠A₃OA₄=120°； 
當(dāng)α=20°時(shí)，OA₁，OA₂，OA₃，OA₄，OA₃的位置如圖3所示，
其中第4步旋轉(zhuǎn)到ON后彈回，即∠A₃ON+∠NOA₄=80°，而OA₃恰好與OA₂重合．

解決如下問(wèn)題：
（1）若α=35°，在圖4中借助量角器畫(huà)出OA₂，OA₃，其中∠A₃OA₂的度數(shù)是45°；
（2）若α＜30°，且OA₄所在的射線平分∠A₂OA₃，在如圖5中畫(huà)出OA₁，OA₂，OA₃，OA₄并求出α的值；

（3）若α＜36°，且∠A₂OA₄=20°，則對(duì)應(yīng)的α值是$（\frac{20}{7}）^{°}$，$（\frac{340}{13}）^{°}$，（$\frac{380}{13}$）°．
（4）（選做題）當(dāng)OA_i所在的射線是∠A_iOA_k（i，j，k是正整數(shù)，且OA_j與OA_k不重合）的平分線時(shí)，旋轉(zhuǎn)停止，請(qǐng)?zhí)骄浚涸噯?wèn)對(duì)于任意角α（α的度數(shù)為正整數(shù)，且α=180°），旋轉(zhuǎn)是否可以停止？寫(xiě)出你的探究思路．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，明確每次旋轉(zhuǎn)的角度，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)各角的度數(shù)，找出等量關(guān)系式，列出方程，求出α的度數(shù)即可；
（3）類(lèi)比第（2）小題的算法，分三種情況討論，求出α的度數(shù)即可；
（4）無(wú)論a為多少度，旋轉(zhuǎn)很多次，總會(huì)出一次OA_i是∠A_iOA_K是的角平分線，但當(dāng)a=120度時(shí)，只有兩條射線，不會(huì)出現(xiàn)OA_i是∠A_iOA_K是的角平分線，所以旋轉(zhuǎn)會(huì)中止．

解答 解：（1）解：如圖所示．a(chǎn)φ=45°，

（2）解：如圖所示．

∵α＜30°，
∴∠A₀OA₃＜180°，4α＜180°．
∵OA₄平分∠A₂OA₃，
∴2（180°-6α）+$\frac{3}{2}α$=4α，解得：$α=（\frac{720}{29}）^{°}$．
（3）$（\frac{20}{7}）^{°}$，$（\frac{340}{13}）^{°}$，（$\frac{380}{13}$）°
（4）對(duì)于角α=120°不能停止．理由如下：
無(wú)論a為多少度，旋轉(zhuǎn)過(guò)若干次后，一定會(huì)出現(xiàn)OA_i是∠A_iOA_K是的角平分線，所以旋轉(zhuǎn)會(huì)停止．
但特殊的，當(dāng)a為120°時(shí)，第一次旋轉(zhuǎn)120°，∠MOA₁=120°，第二次旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，與OM重合，第三次旋轉(zhuǎn)360°，又與OM重合，第四次旋轉(zhuǎn)480°時(shí)，又與OA₁重合，…依此類(lèi)推，旋轉(zhuǎn)的終邊只會(huì)出現(xiàn)“與OM重合”或“與OA₁重合”兩種情況，不會(huì)出第三條射線，所以不會(huì)出現(xiàn)OA_i是∠A_iOA_K是的角平分線這種情況，旋轉(zhuǎn)不會(huì)停止．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察角度的計(jì)算的相關(guān)知識(shí)，可結(jié)合平角的性質(zhì)及角度的加減進(jìn)行計(jì)算分析．