Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2+mx+n（n≠0）與直線y=x交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA=OB，BC∥x軸．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點（點E在點D的上方），DE= ，過D、E兩點分別作y軸的平行線，交拋物線于F、G，若設D點的橫坐標為x，四邊形DEGF的面積為y，求x與y之間的關系式，寫出自變量x的取值范圍，并回答x為何值時，y有最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線 與y軸交于點C ∴C(0，n)

∵BC∥x軸 ∴B點的縱坐標為n

∵B、A在y=x上，且OA=OB∴B(n，n)，A(-n，-n)

∴ 解得：n=0(舍去)，n=-2；m=1

∴所求解析式為：

（2）解：作DH⊥EG于H

∵D、E在直線y=x上 ∴∠EDH=45 ∴DH=EH

∵DE= ∴DH=EH=1 ∵D(x，x) ∴E(x+1，x+1)

∴F的縱坐標： ，G的縱坐標：

∴DF= -( )=2- EG=(x+1)- [ ]=2-

∴

∴x的取值范圍是-2<x<1 當x=- 時，y最大值=3

【解析】 （1）根據題意求出C點的坐標，根據平行于x軸的直線上的點縱坐標相同得出B點的縱坐標為n ，又因B、A在y=x上，故A,B兩點的橫坐標與縱坐標分別相同，且OA=OB,從而得出B(n，n)，A(-n，-n)，將A,B兩點的坐標分別代入函數解析式得出方程組，解出m,n的值，從而得出解析式；
（2）作DH⊥EG于H，由∵D、E在直線y=x上 故∠EDH=45 根據等腰直角三角形的性質得出DH=EH，根據勾股定理得出DH=EH=1，從而知D(x，x) E(x+1，x+1)，進而根據拋物線上點的坐標特點表示出F的縱坐標，G的縱坐標，DF，EG的長度，根據梯形的面積公式列出y與x的函數關系式。