Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線DC，P點為優(yōu)弧

CBA

上一動點（不與A、C重合）．
（1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)；
（2）當點P移動到CB弧的中點時，求證：四邊形OBPC是菱形．
（3）P點移動到什么位置時，△APC與△ABC全等，請說明理由．

Answer 1

（1）連接AC，如圖所示：

∵AC=2，OA=OB=OC=

1

2

AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=

1

2

∠AOC=30°，
又DC與圓O相切于點C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；…（4分）
（2）連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
當點P移動到CB的中點時，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都為等邊三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
則四邊形OBPC為菱形；…（8分）
（3）當點P與B重合時，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC；
當點P繼續(xù)運動到CP經(jīng)過圓心時，△ABC≌△CPA，理由為：
∵CP與AB都為圓O的直徑，
∴∠CAP=∠ACB=90°，
在Rt△ABC與Rt△CPA中，

AB=CP AC=AC

，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．
綜上所述當點P與點B重合或CP經(jīng)過圓心時，△APC與△ABC全等