Question

（2013•相城區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y=kx+b（b＜0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B．一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，且S_△PAC=1，

OB

OD

=

1

2

，tan∠ACP=

1

2

．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式：
（3）根據(jù)圖象寫出當(dāng)x＞0時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由一次函數(shù)y=kx+b可知，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），即OD=-b，結(jié)合tan∠ACP=

1

2

，S_△PAC=1，求出b的值，D點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出；
（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=

1

2

，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（3）由兩函數(shù)的圖象直接寫出x的取值范圍即可．

解答：解：（1）由一次函數(shù)y=kx+b可知，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），即OD=-b．
∵

OB

OD

=

1

2

，
∴OB=-

1

2

b．
∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，
∴四邊形OAPB為矩形．
∴PA=0B=-

1

2

b．
在Rt△PAC中，tan∠ACP=

1

2

，
∴AC=-b，
∵S_△PAC=1，
∴b=-2，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）；

（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=

1

2

，
∴OC=2OD=4，OA=6，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1），
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=

1

2

x-2、y=

6

x

；

（3）由圖象可知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為P（6，1），
當(dāng)0＜x＜6時(shí)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道反比例函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和求一次函數(shù)的解析式，由圖象特征確定自變量的取值范圍．