Question

18．如圖，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是（　　）m．

• A． 3
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為6cm的等邊三角形可知，展開圖是半徑是6的半圓．點B是半圓的一個端點，而點P是平分半圓的半徑的中點，根據(jù)勾股定理就可求出兩點B和P在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．

解答 解：圓錐的底面周長是6π，則6π=$\frac{nπ×6}{180}$，
∴n=180°，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度．
則在圓錐側(cè)面展開圖中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．
∴在圓錐側(cè)面展開圖中BP=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$m．
故小貓經(jīng)過的最短距離是3$\sqrt{5}$m．
故選C．

點評 本題考查的是平面展開-最短路線問題，根據(jù)題意畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．