Question

（2011•棗莊）如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形OCD的面積．
解答：（1）證明：連接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=90°．
∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S_扇形OBC=．
在Rt△OCD中，∵，
∴．
∴．
∴圖中陰影部分的面積為．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線(xiàn)的判定方法、扇形的面積計(jì)算方法．